Question

已知关于x，y的方程C：x 2 +y 2 -2x-4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x 2 +y

已知关于x，y的方程C：x 2 +y 2 -2x-4y+m=0．（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x 2 +y 2 -8x-12y+36=0外切，求m的值；（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且 |MN|= 4 5 5 ，求m的值．

Answer 1

（1）把方程C：x 2 +y 2 -2x-4y+m=0，配方得：（x-1） 2 +（y-2） 2 =5-m， 若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5； （2）把圆x 2 +y 2 -8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4） 2 +（y-6） 2 =16，得到圆心坐标（4，6），半径为4， 则两圆心间的距离d= (4-1) 2 + (6-2) 2 =5， 因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+ 5-m =5，解得m=4； （3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d= 1 5 = 5 5 ， 所以 ( 5-m ) 2 =（ 1 2 |MN|） 2 +d 2 ，即5-m=1，解得m=4．