Question

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中画出相应图形并说明理由；（2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°点D在线段BC上运动，试探究CF与BC位置关系．

Answer 1

（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形， ∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°， ∴∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， AB=AC ∠CAF=∠BAD AD=AF ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD； ②如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°， ∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠CAF=∠BAD， 在△ACF和△ABD中， AB=AC ∠CAF=∠BAD AD=AF ， ∴△ACF≌△ABD（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD； （2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E， ∵∠BCA=45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴AC=AE，∠AED=45°， ∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°， ∴∠CAF=∠EAD， 在△ACF和△AED中， AC=AE ∠CAF=∠EAD AD=AF ， ∴△ACF≌△AED（SAS）， ∴∠ACF=∠AED=45°， ∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°， ∴CF⊥BD．