Question

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，△ABC的外接圆半径是 2 ，且满足条件a 2 +b 2

已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，△ABC的外接圆半径是 2 ，且满足条件a 2 +b 2 =ab+c 2 ．（1）求角C与边c．（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵a 2 +b 2 =ab+c 2 ，即a 2 +b 2 -c 2 =ab， ∴由余弦定理得：cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab = ab 2ab = 1 2 ， 又C为三角形的内角， ∴C=60°， 又△ABC的外接圆半径R= 2 ， ∴由正弦定理 c sinC =2R得：c=2 2 sin60°= 6 ； （2）∵c= 6 ，cosC= 1 2 ， ∴由余弦定理c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC得：6=a 2 +b 2 -ab≥2ab-ab， ∴ab≤6， ∴S= 1 2 absin60°≤ 3 3 2 ，当且仅当a=b= 6 时等号成立， 则△ABC面积的最大值为 3 3 2 ．