Question

如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD ∥ BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周 长为10cm．

如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，AD ∥ BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周 长为10cm．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积（其中л≈3， 3 ≈1.7）．

Answer 1

（1）∵AD ∥ BC，∠ADC=120°， ∴∠BCD=60°（2分） 又∵AC平分∠BCD， ∴∠DAC=∠ACB=∠DCA=30度．（4分） ∴ AB= AD = CD ，∠B=60度． ∴∠BAC=90°，（6分） ∴BC是圆的直径，BC=2AB．（7分） ∵四边形ABCD的周长为10cm， ∴AB=AD=DC=2cm，BC=4cm． ∴此圆的半径为2cm．（8分） （2）设BC的中点为O，由（1）可知O即为圆心． 连接OA，OD，过O作OE⊥AD于E．（9分） 在Rt△AOE中，∠AOE=30°， ∴OE=OA?cos30°= 3 cm． ∴S △AOD = 1 2 ×2× 3 = 3 （cm 2 ）．（10分） ∴S 阴影 =S 扇形AOD -S △OAD = 60×π× 2 2 360 - 3 = 2π 3 - 3 ≈0.3（cm 2 ）．（12分）