Question

在△ABC中， AC AB = cosB cosC ．（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=- 1 3

在△ABC中， AC AB = cosB cosC ．（Ⅰ）证明B=C：（Ⅱ）若cosA=- 1 3 ，求sin (4B+ π 3 ) 的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得 sinB sinC = cosB cosC ． 于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0． 因为-π＜B-C＜π，从而B-C=0．所以B=C； （Ⅱ）由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B， 故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA= 1 3 ． 又0＜2B＜π，于是sin2B= 1- cos 2 2B = 2 2 3 ． 从而sin4B=2sin2Bcos2B= 4 2 9 ， cos4B= co s 2 2B-si n 2 2B=- 7 9 ． 所以 sin(4B+ π 3 )=sin4Bcos π 3 +cos4Bsin π 3 = 4 2 -7 3 18 ．

Answer 2

（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinB / sinC=cosB / cosC
于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0．
因为-π＜B-C＜π，从而B-C=0．所以B=C；
（Ⅱ）由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B，
故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA=1 / 3
又0＜2B＜π，于是sin2B=1-cos2B *cos2B
=2 √ 2 /3
从而sin4B=2sin2Bcos2B=4√2／9 ，
cos4B=cos2B*cos2B-sin2B*sin2B=-7／9 ．
所以sin(4B+π／3 )=sin4Bcos(π／3 )+cos4Bsin(π／3) =(4√2-7√3) ／18 ．