Question

（2013?宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与

（2013?宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值．

Answer 1

解：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴

16a+6×4+c＝0 a?6+c＝0

，解得

a＝?2 c＝8

，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA，
∴△EDF∽△DAO，
∴

EF

DO

=

ED

DA

．
∵

ED

DA

=tan∠DAE=

1

2

，
∴

EF

DO

=

1

2

，
∴

EF

t

=

1

2

，∴EF=

1

2

t．
同理

DF

OA

=

ED

DA

，
∴DF=

1

2

OA=2，∴OF=t-2．

（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则四边形EFOM是矩形，
∴EF=OM．
∴在Rt△AEM中，EM=OF=t-2，AM=OA+AM=OA+EF=4+

1

2

t，
当∠CEA=90°时，CE²+AE²=AC²，即(t?10)