Question

已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．（I）若函数f（x）在区间(0，12)上是减函数，求实数a的取值范围．（II）试

已知函数f（x）=-x2+ax+1-lnx．（I）若函数f（x）在区间(0，12)上是减函数，求实数a的取值范围．（II）试讨论函数f（x）是否既有极大值又有极小值？若有，求出a的取值范围；若没有，请说明理由．

Answer 1

（I）由f（x）=-x²+ax+1-lnx得f′(x)＝?2x+a?

1

x

，
∵f（x）在区间(0，

1

2

)上是减函数，∴当x∈(0，

1

2

)时，f′(x)＝?2x+a?

1

x

＜0恒成立，
即a＜2x+

1

x

恒成立，令g（x）=2x+

1

x

，则g^′（x）=2-

1

x2

∵x∈(0，

1

2

)时，

1

x2

＞4，∴g^′（x）=2-

1

x2

＜0
∴g（x）=2x+

1

x

在区间(0，

1

2

)上是减函数，
∴g(x)＞g(

1

2

)＝3，∴a≤3．

（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）得到：f^′（x）=?2x+a?

1

x

＝

?2x2+ax?1

x

=0，得-2x²+ax-1=0，△=a²-8
①当-2

2

＜a＜2

2

时，△＝a2-8＜0，-2x²+ax-1＜0恒成立，所以f^′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）不存在极值；
②当a=±2

2

时，?2x2+ax-1≤0，∴f^′（x）≤0，f（x）在（0，+∞