Question

在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=13[k（k+1）（k+

在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=13[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]由此得1×2=13（1×2×3-0×1×2），2×3=13（2×3×4-1×2×3）…n（n+1）=13[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]相加，得1×2×3+…+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其结果为______．

Answer 1

∵n（n+1）（n+2）=

1

4

[n(n+1)(n+2)(n+3)?(n?1)n(n+1)(n+2)]
∴1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n(n+1)(n+2)(n+3)?(n?1)n(n+1)(n+2)]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)
故答案为：

1

4

n(n+1)(n+2)(n+3)