Question

（2012?密云县一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），

（2012?密云县一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)
则

a＝2b 4 a2 + 1 b2 ＝1

，解得

a2＝8 b2＝2

∴椭圆方程

x2

8

+

y2

2

＝1
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM＝

1

2

∴l的方程为：y＝

1

2

x+m
由

y＝ 1 2 x+m x2 8 + y2 2 ＝1

，∴x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，
∴m的取值范围是{m|-2＜m＜2且m≠0}
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则k1＝

y1?1

x1?2

，k2＝

y2?1

x2?2

由x²+2mx+2m²-4=0可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
而k1+k2＝

y1?1

x1?2

，+

y2?1

x2?2

＝

(y1?1)(x2?2)+(y2?1)(x1?2)

(x1?2)(x2?2)

=

( 1 2 x1+m?1)(x2?2)+( 1 2 x2+m?1)(x1?2)

(x1?2)(x2?2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)?4(m?1)

(x1?2)(x2?2)

=

2m2?4+(m?2)(?2m)?4(m?1)

(x1?2)(x2?2)

=

2m2?4?2m2+4m?4m+4

(x1?2)(x2?2)

＝0
∴k₁+k₂=0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．