Question

已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．（1）求a的取值范围；（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f

已知函数f（x）=x3-ax+b存在极值点．（1）求a的取值范围；（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．（ⅰ）证明：a=b；（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的导数为f'（x）=3x²-a，若函数存在极值点，
则f'（x）=3x²-a=0有解，即a=3x²，
∴a≥0，
当a=0时，f'（x）=3x²-a=3x²≥0，此时函数f（x）单调递增，无极值，
∴a＞0．
（2）（ⅰ）过点P（1，0）作曲线的切线，设切点（x₀，f（x₀）），
则切线方程为：y?f(x0)＝(3

x

2 0

?a)(x?x0)，
将P（1，0））代入得：?f(x0)＝(3

x

2 0

?a)(1?x0)，
即2

x

3 0

?3

x

2 0

+a?b＝0，（*），
由条件知切线恰有两条，
∴方程（*）恰有两根．
令u（x）=2x³-3x²+a-b，
则u′（x）=6x²-6x=6x（x-1），
则函数u（x）有两个极值点x=0与x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
当u（0）=0时，a=b成立．
当u（1）=0时，a-b=1，此时f（x）=x³-ax+a-1=（x-1）（x²+x+1-a）经过P（1，0）与条件P在曲线外不符合，
∴a=b．
（ⅱ）当a=b时，2

x

3 0

?3

x

2 0

+a?b＝0，（*），
等价为

x

2 0

(2x0?3)＝0，解得x₀=0或x0＝

3

2

，
此时f（0）=b=a，即A（0，a），
f（

3

2

）=

27

8

?

a

2

，即B（

3

2

，

27

8

?

a

2

）．
则AP的方程为

x

1

+

y

a

＝1，即ax+y-a=0，
则|AP|=

a2+1

，
点B到直线ax+y-a=0的距离d=

| 3 2 a+ 27 8 ? a 2 ?a|

a2+1

＝

27 8

a2+1

，
∴△PAB的面积的面积为S=

1

2

|AP|?d=

1

2

×

a2+1

?

27 8

a2+1

＝

1

2

×

27

8

＝

27

16

为定值．