Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x-3|≤6，
∴①

x＜? 1 2 ?2x?1+(3?2x)≤6

，或②

3 2 ≥ x  ≥? 1 2 2x+1+(3?2x)≤6

，或③

x＞ 3 2 2x+1+(2x?3)≤6

．
解①得-1≤x＜-

1

2

，解②得-

1

2

≤x≤

3

2

，解③得

3

2

＜x≤2．
故由不等式可得

3

2

＜x≤2或?

1

2

≤x≤

3

2

或?1≤x＜?

1

2

，
即不等式的解集为{x|-1≤x≤2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，即f（x）的最小值等于4，
∴|a-1|＞4，解此不等式得a＜-3或a＞5．
故实数a的取值范围为（-∞，-3）∪（5，+∞）．