Question

已知f（x）=x2，若a2f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）在x∈[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A

已知f（x）=x2，若a2f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）在x∈[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）A．a≤-12或a≥32B．-12≤a≤32C．-32≤a≤12D．a≤-32或a≥32

Answer 1

把f（x）=x²，代入a²f（2x）≤4af（x）+3f（x+1）可化为：（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，
令g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3，横过（0，-3）
①当4a²-4a-3=0时，即a=?

1

2

或a=

3

2

时，原不等式化为-6x-3≤0，在x∈[1，+∞）上恒成立，
②当4a²-4a-3＞0时，抛物线g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3开口向上，不能满足在x∈[1，+∞）上恒成立，
③当4a²-4a-3＜0时，抛物线g（x）=（4a²-4a-3）x²-6x-3开口向下，对称轴方程为x=?

?6

2(4a2?4a?3)

＝

3

4a2?4a?3

＜0，
要使（4a²-4a-3）x²-6x-3≤0，只需使g（1）≤0，∴（4a²-4a-3）1²-6-3≤0，∴4a²-4a-12≤0，∴

1? 13

2

≤a≤

1+ 13

2

又4a²-4a-3＜0，即?

1

2

＜a＜

3

2

，
∴?

1

2

＜a＜

3

2

，
综上，a的范围为?

1

2

≤a≤

3

2

，
故选：B．