Question

已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6， sin2C=- 3 cos2C ，（1）求角C

已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6， sin2C=- 3 cos2C ，（1）求角C的大小；（2）若 sinA= 1 3 ，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵sin2C=- 3 cos2C，即tan2C=- 3 ， 又C为锐角，∴2C∈（0，π）， ∴2C= 2π 3 ，∴C= π 3 ； （2）∵在锐角△ABC中，sinA= 1 3 ，sinC= 3 2 ，c=6， ∴根据正弦定理得： c sinC = a sinA ，即a= csinA sinC = 6× 1 3 3 2 = 4 3 3 ， ∵又sinA= 1 3 ，且A为锐角，∴cosA= 1-si n 2 A = 2 2 3 ， ∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= 1+2 6 6 ， ∴S △ABC = 1 2 acsinB= 2 3 +12 2 3 ．