Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC

如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．

Answer 1

证明：在△ABC中，∠B=60°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC=∠OAB= ∠BAC，∠OCD=∠OCA= ∠ACB， 在△OAC中，∠AOC=180°﹣（∠OAC+∠OCA） =180°﹣ （∠BAC+∠ACB）=180°﹣ ×120°=120°． ∴∠AOE=180°﹣∠AOC=180°﹣120°=60°． 在AC上截取AF=AE，连接OF，如图， 在△AOE和△AOF中，AE=AF，∠OAE=∠OAF，OA=OA， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴∠AOE=∠AOF， ∴∠AOF=60°． ∴∠COF=∠AOC﹣∠AOF=120°﹣60°=60°． 又∠COD=60°， ∴∠COD=∠COF． 在△COD和△COF中，∠COD=∠COF，OC=OC，∠OCD=∠OCF， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴CD=CF． 又∵AF=AE， ∴AC=AF+CF=AE+CD， 即AE+CD=AC．