Question

设x=3是函数f(x)＝e3(x2+ax+b)ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（

设x=3是函数f(x)＝e3(x2+ax+b)ex，(a＞0，x∈R)的一个极值点．（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调递增区间；（2）设g(x)＝(a2+254)ex，若存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f(x)＝

e3(x2+ax+b)

ex

，(x∈R)，
∴f′(x)＝

e3(?x2+2x?ax+a?b)

ex

，
∵函数f(x)＝

e3(x2+ax+b)

ex

，(a＞0，x∈R)的一个极值点是x=3．
∴f′(3)＝

e3(?32+2×3?3a+a?b)

e3

＝0，
∴b=-2a-3，
∵a＞0，令f′(x)＝

e3(?x2+2x?ax+3a+3)

ex

＞0，
即x²-（2-a）x-（3+1）a＜0
解得：-1-a＜x＜3，
所以f（x）的单调递增区间是：[-1-a，3]；
（2）由（1）可得，函数f（x）在[0，3]上单调递增，在[3，4]上单调递减，
∴f_max（x）=f（3）=a+6，且f(0)＝?(2a+3)e3＜f(4)＝

e3(13+2a)

e4

∴函数f（x）在x∈[0，4]的值域为[-（2a+3）e³，a+6]，
又g′(x)＝(a2+

25

4

)ex＞0，
∴g（x）在[0，4]上单调递增，
故g（x）在x∈[0，4]的值域为[a2+

25

4

，(a2+

25

4

)e4]，
若存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
等价于|f_max（x）-g_min（x）|＜1或|g_max（x）-f_min（x）|＜1，
又∵a2+

25

4

≥a+6，
于是：

(a2+ 25 4 )?(a+6)＜1 a＞0