Question

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AC的中点，过点A的直线l∥BC，将直线AC绕点D逆时针旋转（旋转角α＜∠ACB

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AC的中点，过点A的直线l∥BC，将直线AC绕点D逆时针旋转（旋转角α＜∠ACB），分别交直线l于点F与BC的延长线交于点E，连接AE、CF．（1）求证：△CDE≌△ADF；（2）求证：四边形AFCE是平行四边形；（3）当∠B=22.5°，AC=BC时，请探索：是否存在这样的α能使四边形AFCE成为正方形？请说明理由；若能，求出这时的旋转角α的度数和BC与CE的数量关系．

Answer 1

（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在△AFD和△CED中

∠1＝∠2 ∠3＝∠4 AD＝CD

，
∴△AFD≌CED（AAS）；

（2）证明：∵△AFD≌CED，
∴DE=DF，
∵AD=CD，
∴四边形AFCE是平行四边形；

（3）当旋转角α=90°时，四边形AFCE是正方形，这时BC=

2

CE，理由如下：
∵由（2）知，四边形AFCE是平行四边形，
∴当α=90°时，平行四边形AFCE是菱形，
又∵AC=BC，
∴∠BAC=∠B=22.5°，
∴∠ACE=∠BAC+∠B=22.5°+22.5°=45°，
∴△CED是等腰直角三角形，则CD=ED，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴AC=2CD，EF=2ED，
∴AC=EF，
∴菱形AFCE是正方形，
∴AE=CE，
在Rt△ACE中由勾股定理：AC=

AE2+CE2

=

2

CE，
∵AC=BC，
∴BC=

2

CE．