Question

∫(arctanx)^2dx=？

Answer 1

=x^*arctan^x/2-x*arctanx+arctan^x/2+ln(1+x^)/2

解题过程如下：

原式=(1/2)*∫arctan^xd(x^)

=(1/2)*arctan^x*x^-(1/2)*∫x^d(arctan^x)

=x^*arctan^x/2 -(1/2)*∫x^*[2*arctanx/(1+x^)]dx

=x^*arctan^x/2-∫[x^/(1+x^)]*arctanx*dx

=x^*arctan^x/2-∫arctanxdx+∫arctanxdx/(1+x^)

=x^*arctan^x/2-x*arctanx+∫xd(arctanx)+∫artanx*d(arctanx)

=x^*arctan^x/2-x*arctanx+∫[x/(1+x^)]dx+arctan^x/2

=x^*arctan^x/2-x*arctanx+arctan^x/2+∫(1/2)*(1+x^)*d(1+x^)

=x^*arctan^x/2-x*arctanx+arctan^x/2+ln(1+x^)/2

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

原式=(1/2)*∫arctan^xd(x^)
=(1/2)*arctan^x*x^-(1/2)*∫x^d(arctan^x)
=x^*arctan^x/2 -(1/2)*∫x^*[2*arctanx/(1+x^)]dx
=x^*arctan^x/2-∫[x^/(1+x^)]*arctanx*dx
=x^*arctan^x/2-∫arctanxdx+∫arctanxdx/(1+x^)
=x^*arctan^x/2-x*arctanx+∫xd(arctanx)+∫artanx*d(arctanx)
=x^*arctan^x/2-x*arctanx+∫[x/(1+x^)]dx+arctan^x/2
=x^*arctan^x/2-x*arctanx+arctan^x/2+∫(1/2)*(1+x^)*d(1+x^)
=x^*arctan^x/2-x*arctanx+arctan^x/2+ln(1+x^)/2