Question

如图：二次函数y=-x 2 +ax+b的图象与x轴交于A（- ，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C。

如图：二次函数y=-x 2 +ax+b的图象与x轴交于A（- ，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C。 （1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。





Answer 1

解：（1）根据题意，将A（- ，0），B（2，0）代入y=-x 2 +ax+b中， 得 ，解这个方程，得a= ，b=1， ∴该拋物线的解析式为y=-x 2 + x+1， 当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1）， ∴在△AOC中，AC= ， 在△BOC中，BC= ， AB=OA+OB= +2= ， ∵AC 2 +BC 2 = +5= =AB 2 ， ∴△ABC是直角三角形； （2）点D的坐标为（ ，1）； （3）存在。由（1）知，AC⊥BC。 ①若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示， 可求得直线BC的解析式为y=- x+1，直线AP可以看作是由直线BC平移得到的， 所以设直线AP的解析式为y=- x+b， 把点A（- ，0）代入直线AP的解析式，求得b=- ， ∴直线AP的解析式为y=- x- ， ∵点P既在拋物线上，又在直线AP上， ∴点P的纵坐标相等，即-x 2 + x+1=- x- ， 解得x 1 = ， x 2 =- （舍去）， 当x= 时，y=- ， ∴点P（ ，- ）， ②若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示， 可求得直线AC的解析式为y=2x+1， 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的， 所以设直线BP的解析式为y=2x+b， 把点B（2，0）代入直线BP的解析式，求得b=-4， ∴直线BP的解析式为y=2x-4， ∵点P既在拋物线上，又在直线BP上， ∴点P的纵坐标相等，即-x 2 + x+1=2x-4，解得x 1 =- ，x 2 =2（舍去）， 当x=- 时，y=-9， ∴点P的坐标为（- ，-9）， 综上所述，满足题目条件的点P为（ ，- ）或（- ，-9）。