Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0）．如图

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（-1，0）．如图所示，B点在抛物线y=12x2+12x-2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为-3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AC⊥BC，BD⊥CD，
∴∠BDC=∠COA=90°，∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
∵在△BDC和△COA中

∠BDC＝∠COA＝90° ∠BCD＝∠OAC BC＝AC

∴△BDC≌△COA（AAS），

（2）解：∵△BDC≌△COA，
∴BD=CO，
∵C点的坐标为（-1，0），
∴BD=OC=1，
∴B点的纵坐标为1，
∵B点的横坐标为-3，
∴B点的坐标为（-3，1），
设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，
∴

?k+b＝0 ?3k+b＝1

，
∴解方程组得

k＝? 1 2 b＝? 1 2

，
∴直线BC所在直线的解析式为：y=-

1

2

x-

1

2

，

（3）解：存在，
∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴y=

1

2

x²+