Question

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＜0，且f（

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＜0，且f（x）在区间（0，e]上的最大值为-2，求a的值；（3）当a=-1时，试证明：x|f（x）|＞lnx+12x．

Answer 1

（1）证明：因为a_n=2a_n-1+1（n≥2），所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知，a_n+1=2?2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1
∴b_n=log₂（a_n+1）=n；
（3）解：

1

bnbn+2

＝

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

．