Question

已知函数f（x）=12x2-2alnx+（a-2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线

已知函数f（x）=12x2-2alnx+（a-2）x，a∈R．（I）当a=1时，求函数f（x）图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2有f(x2)?f(x1)x2?x1＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，
f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

(x?2)(x+a)

x

（x＞0）
当a=1时，f′（x）=

(x?2)(x+1)

x

，f′（1）=-2，
则所求的切线方程为：y-f（1）=-2（x-1），
即4x+2y-3=0；
（Ⅱ）①当-a=2，即a=-2时，
f′（x）=

(x?2)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当-a＜2，即-2＜a＜0时，
由0＜x＜-a，或x＞2时，f′（x）＞0，-a＜x＜2时，f′（x）＜0．
则f（x）在（0，-a），（2，+∞）单调递增，在（-a，2）上单调递减；
③当-a＞2，即a＜-2时，
由0＜x＜2或x＞-a时，f′（x）＞0；2＜x＜-a时，f′（x）＜0，
f（x）在（0，2），（-a，+∞）上单调递增，在（2，-a）上单调递减；
（Ⅲ）假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x₁＜x₂．
由

f(x2)?f(x1)

x2?x1

＞a知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=

1

2

x²-2aln x-2x，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则g′（x）=x-

2a

x

-2≥0，
即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立．，则a≤-

1

2

，
故存在这样的实数a满足题意，其范围为（-∞，-

1

2

]．