Question

线性代数初等行变换题目

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Answer 1

A =
1 -2 3 -4 4
0 1 -1 -1 -3
1 3 0 -3 1
0 -7 3 1 -1

化为行最简矩阵：
A =
1 0 0 0 -5
0 1 0 0 7/3
0 0 1 0 5
0 0 0 1 1/3

所以：
x1 = -5
x2 = 7/3
x3 = 5
x4 = 1/3

Answer 2

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。