如何判断一个函数在某点是否有拐点？
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可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求函数的额二阶导数f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点X0，检查f''(x)在X0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(X0,f(X0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(X0,f(X0))不是拐点。
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拐点与凹凸性：
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0；f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0。
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
则称f为I上的凹函数.
若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。
如果"<=“换成“>=”就是凸函数。类似也有严格凸函数。
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）
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方法：（1）求这个函数的二阶导数；
（2）若二阶导数在这个点的左边和右边的正负性不同，则这个点就是拐点；
若在这个点的左边和右边的正负性相同，则这个点就不是拐点。
补充：关于这个点怎么求的问题：这个点一般是二阶导数等于零的点或这个点处函数无意义。
（2）若二阶导数在这个点的左边和右边的正负性不同，则这个点就是拐点；
若在这个点的左边和右边的正负性相同，则这个点就不是拐点。
补充：关于这个点怎么求的问题：这个点一般是二阶导数等于零的点或这个点处函数无意义。
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怎么判断这个点左右二阶导数点正负性？求该点的左右极限？
我的意思是求该点的二阶导数的左右极限，再看正负？
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方法：（1）求这个函数的二阶导数；
（2）若二阶导数在这个点的左边和右边的正负性不同，则这个点就是拐点；
若在这个点的左边和右边的正负性相同，则这个点就不是拐点。
补充：关于这个点怎么求的问题：这个点一般是二阶导数等于零的点或这个点处函数无意义。
（2）若二阶导数在这个点的左边和右边的正负性不同，则这个点就是拐点；
若在这个点的左边和右边的正负性相同，则这个点就不是拐点。
补充：关于这个点怎么求的问题：这个点一般是二阶导数等于零的点或这个点处函数无意义。
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设函数y=f(x)在点x0可导,在U0(x0,δ-(x0)和0(x)的符号相同,则称点(x0,f(x0))是曲线=f()U+(x0)内f″(x0)=0,若在U0引理2[1] 设函数y=f(x)在点x0的邻域U0(-(x0)和0U+(x0)内f(x)的符号相同,则点(x0,f(x0))y).
设函数y=f(x)=x0n阶连续导数(n>2),如果f′(x0)=…=ff″(n-1)(x0)(n)(00,:
当n为奇数时,(x0y=f(x)的拐点;
当n为偶数时,x=x0是曲线y=f(x)的极值点且当fn(x0)>0时,x=x0是极值小点,当
f(n)(x0)<0时,x=x0是极大值点.
即导数值为零,且左右正负不同的点就是拐点.
设函数y=f(x)=x0n阶连续导数(n>2),如果f′(x0)=…=ff″(n-1)(x0)(n)(00,:
当n为奇数时,(x0y=f(x)的拐点;
当n为偶数时,x=x0是曲线y=f(x)的极值点且当fn(x0)>0时,x=x0是极值小点,当
f(n)(x0)<0时,x=x0是极大值点.
即导数值为零,且左右正负不同的点就是拐点.
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