Question

多元函数求极限

Answer 1

求多元函数的极限
解：∵lim(x->+∞,y->-∞)[(x-y)^2/e^(x-y)]
=lim(t->+∞)(t^2/e^t) (令t=x-y)
=lim(t->+∞)(2t/e^t) (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=lim(t->+∞)(2/e^t) (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=0
lim(x->+∞)(x/e^x)
=lim(x->+∞)(1/e^x) (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=0
lim(y->-∞)(ye^y)
=lim(y->-∞)[y/e^(-y)]
=lim(y->-∞)[-1/e^(-y)] (∞/∞型极限，应用罗比达法则)
=0
∴lim(x->+∞,y->-∞)[(x^2+y^2)e^(y-x)]
=lim(x->+∞,y->-∞)[((x-y)^2-2xy)/e^(x-y)]
=lim(x->+∞,y->-∞)[(x-y)^2/e^(x-y)-2(x/e^x)(ye^y)]
=lim(x->+∞,y->-∞)[(x-y)^2/e^(x-y)]-2*lim(x->+∞,y->-∞)(x/e^x)*lim(x->+∞,y->-∞)(ye^y)
=0-2*0*0
=0。

二元函数的极限成一元函数的极限，即将二重极限化成累次极限，在很多情况下方便求极限（但是有个限制条件，必须是二重极限和累次极限都存在的情况下才能这么做） 可是在某些情况下直接计算二重极限比较方便，例如lim(x→0,y→1)[(x^2+3x)/xy]=lim(x→0,y→0)[(x+3)/y]=3 ，这个可以在最后一步时将x,y的极限值直接代入 ，并且前面说了二重极限化累次极限是有限定条件的，不满足条件则不能化成累次极限。

Answer 2

(2)分子有理化，
x→0，y→0时[2-√(xy+4)]/(xy)=[4-(xy+4)]/{xy[2+√(xy+4)]}
=-1/[2+√(xy+4)]→-1/4.
(3),(4)都作变换:x=rcosu,y=rsinu,r>0,
x→0，y→0变为r→0，
（3)原式=lim<r→0>rcosusinu=0.
(4)原式=lim<r→0>(r-sinr)/r^3
=lim<r→0>(1-cosr)/(3r^2)
=lim<r→0>2[sin(r/2)]^2/(3r^2)
=lim<r→0>2(r/2)^2/(3r^2)
=1/6.