Question

如图，在△ABC中，点是AB边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠ACB的平分线于点

如图，在△ABC中，点是AB边上的一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F。
（1）求证：OE=OF。
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长。
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？说明理由。

Answer 1

（1）证明：
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ECB，
∵CF是∠ACD的平分线，∴∠ACF=∠FCD，
∵MN∥BC，∴∠OFC=∠FCD=∠ACF，∠OEC=∠ECB=∠ACE，
∴OF=OC，OE=OC
即OF=OE
（2）
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠ACE，
∵CF是∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ACF，
∵∠ACB+∠ACD=180°∴2∠ACE+2∠ACF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°
∴△ECF为直角三角形∴EF^2=CE^2+CF^2=12^2+5^2=169=13^2
∴EF=13
由第一问可知：OE=OF=OC
∴OC=EF/2=6.5
（3）
当点O处于AC中点时，四边形AECF为矩形。
理由如下：
连接AE，AF。
当四边形AECF为矩形时，AF∥CE
∴∠AFE=∠OEC，∠FAC=∠ACE
由第一问可知：∠OEC=∠ACE
∴∠AFE=∠FAC，∴OA=OF
由第一问可知：OF=OC
∴OA=OC
∴点O为AC中点