Question

利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2

利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2π

Answer 1

利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:
[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面积
S=(1/2)∫[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

引用Along菲子的回答：
利用曲线积分计算曲线所围成图形的面积 星形线x=acos³t,y=asin³t,0≤t≤2:
[r(t)]^2=[x(t)]^2+[y(t)]^2=a^2(cost)^6+a^2(sint)^6
=a^2[(cost)^2+(sint)^2][(cost)^4+(sint)^4-(cost)^2(sint)^2]
=a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]
所以面积
S=(1/2)∫[r(t)]^2dt
=(1/2)∫(0->2π) a^2[1-3(cost)^2(sint)^2]dt
=5πa^2/8

不对，t和极坐标的面积公式中的θ意义不同

Answer 4

追问

谢谢你