Question

求过直线x-1/2=y+2/-3=z-2/2且垂直于平面x+2y-z-5=0的平面方程

Answer 1

设所求平面法向量为n，则n必垂直于向量直线方向向量（2，-3,2）和平面x+2y-z-5=0的法向量（1,2，-1）

根据叉乘的几何意义，得到n=（2，-3,2）×（1,2，-1）=（-1，4，7）

所以可设平面方程为x-4y-7z=k

再将直线上的点（1，-2，2）代入，求出k=23

故平面方程为x-4y-7z=23

定义

在空间坐标系内，平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。

由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

Answer 2

设所求平面法向量为n，则n必垂直于向量直线方向向量（2，-3,2）和平面x+2y-z-5=0的法向量（1,2，-1）
根据叉乘的几何意义，得到n=（2，-3,2）×（1,2，-1）=（-1，4，7）
所以可设平面方程为x-4y-7z=k
再将直线上的点（1，-2，2）代入，求出k=23
故平面方程为x-4y-7z=23