Question

关于级数，如何证明∑1/n是发散的

我觉得∑1/n也是收敛的，un→0了，前n项合变化就非常小以至于几乎不变了，不就趋近一个值了吗，，，不久收敛吗。。。求帮助

Answer 1

证明方法：

∑1/n=1+1/2+1/3+……+1/n+……=1+1/2+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+（1/9+1/10+……+1/16）+（1/17+1/18+……+1/32）+1/33+……+1/n……>1+1/2+2*1/4+4*1/8+8*1/16+16*1/32+……+……=1+m/2+……。

m是1/2的个数随着n的增加而增大。当n→∞时，m→∞。

∴1+m/2+……发散，故∑1/n发散。

另外，在级数敛散性判断中，un→0只是必要条件非充分条件，说不定“无穷多个无穷小”累积在一起，便“量变到质变”了。

级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

扩展资料：

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0(因此，有时也称为非负项级数)。于是级数(∑un)收敛等价于部分和(sm)有界。项越小，部分和就越倾向于有界，因而正项级数有比较判别法。

收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。

例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

参考资料来源：百度百科——级数

Answer 2

分享一个证明方法：∑1/n=1+1/2+1/3+……+1/n+……=1+1/2+（1/3+1/4）+（1/5+1/6+1/7+1/8）+（1/9+1/10+……+1/16）+（1/17+1/18+……+1/32）+1/33+……+1/n……>1+1/2+2*1/4+4*1/8+8*1/16+16*1/32+……+……=1+m/2+……。m是1/2的个数随着n的增加而增大。当n→∞时，m→∞。∴1+m/2+……发散，故∑1/n发散。另外，在级数敛散性判断中，un→0只是必要条件非充分条件，说不定“无穷多个无穷小”累积在一起，便“量变到质变”了。供参考啊。

Answer 3

Answer 4

---