Question

1的平方加2的平方一直加到n的平方等于多少

Answer 1

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

证明过程：

根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：

a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
·
·

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式两边相加：

（n+1)³滑野-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。

扩展资料：

立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:

1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两掘茄数差的不完全平方判让察的积。

2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。

参考资料：百度百科_立方差公式

Answer 2

Answer 3

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。
证明过程：
根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1.··
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。
扩展资料：
立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:
1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积。
2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积和桐的和的积。也可以说，两数立方差等于两唤衡坦数差与这两数和的不完全平拦颂方的积 。

Answer 4

我来一个不同的：Sn=1²+2²+3²+……+n²
Sn是一个递增函数，对Sn求导=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是凯塌一个二次函数型，所以大胆猜测Sn是一个三次函数型，于是假设Sn=an³+bn²+cn+d，把S1=1，S2=5，S3=14，S4=30代入Sn得出四个方程式，求出Sn=1/3n³+1/2n²+1/6n，把S5代入验证是正确的！但毕竟是猜的，所以要证明，证明方法如下：
当n=1时此等式世纯成搜孙咐立，n=2时也成立。
假设当n=k时（n>1）也成立，即
Sk=1/3k³+1/2k²+1/6k，只需证明n=k+1时也成立即可，又Sk+1-Sk=（k+1）²，是成立的所以原等式成立。

Answer 5

1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6

证明如下：

（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
a=n时：（n+1）³-n³猜颂=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+.+n²穗陵郑）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1²+2²+3²+.+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²汪闷+.+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6.