Question

设a.b.c.d为正实数，且a+b+c+d=4.证明：a2/b+b2/c+c2/d+d2/a大于等于4+(a-b)2. 注意a2代表a的平方

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Answer 1

证明：
a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a
=(a^2/b)+(b^2/c+c^2/d+d^2/a)
≥(a^2/b)+(b+c+d)^2/(c+d+a) (柯西不等式）
=a^2/b+(4-a)^2/(4-b) (a+b+c+d=4)
=[a^2(4-b)+b(4-a)^2]/[b(4-b)]
=(4a^2+16b-8ab)/[b(4-b)]
=[(16b-4b^2)+(4a^2-8ab+4b^2)]/[b(4-b)]
=4+4(a-b)^2/[b(4-b)]
≥4+(a-b)^2 (4/[b(4-b)]≥1等价于(b-2)^2≥0)