Question

线性代数关于 一道求向量的线性表达式问题

第6题，第二种解法中的两个打问号的地方不明白，恳请高手指点指点，先在此谢过！





Answer 1

首先，我们来看线性相关的定义。
设向量组α1，α2，...，αs，k1α1+k2α2+k3α3+...+ksαs=0，若其中k1，k2，...ks存在非零值使得等式成立，则向量组线性相关。若k1，k2，...ks只有零值使得等式成立，则称向量线性无关。

从这个定义，我们可以得到如下结论。
1、若α，β线性无关，那么若k1，k2非零，则k1α+k2β≠0
2、若α，β线性相关，那么，α=kβ，所以有k1α+k2β与α线性相关。

向量的线性无关性，我们可以理解为多余性。
若α，β，γ线性无关，则α，β，γ谁也不多余，无法替代。
若α，β，γ线性相关，则至少有一个多余，也就说至少有一个可以由其他的向量构成。

那么来看第一个问题。
α与β线性相关，所以α+(-1)β与α就一定线性相关。
第二问题。
α，β线性无关，α+(-1)β就一定≠0

理解线性相关的定义，是处理这类问题的关键。

newmanhero 2015年7月28日09:01:31

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

很简单。1由于两组向量可以互相线性表示所以等价，等价向量组的秩相等，所以不改变线性性质，也可以理解成后面的向量是对前面的向量组施行初等列变换，即将第一组的第2个列向量乘以-1加到第1个列向量上，初等列变换不改变向量组的秩
2假设a1-a2=0，根据定义a1和a2线性相关，矛盾。

Answer 3

a1+b 与 a2+b 线性相关，就是两个向量成比例，也就是：
存在实数c，使得：a1+b = c(a2+b)
所以：(a1+b) - (a2+b) = (c-1) (a2+b)，仍旧与 a2+b 成比例，仍相关。

a1 与 a2 线性无关，则对任意实数 c1、c2，有：c1 a1 + c2 a2 ≠ 0
代入 c1 = 1，c2 = -1，就得到：a1 - a2 ≠ 0

Answer 4

第一个问号
线性相关的两向量的任意线性组合，必定与这两个向量都线性相关
a1+b与a2+b线性相关，那么它们的线性组合(a1+b)-(a2+b)与a2+b线性相关
第二个问号
线性无关的向量肯定不相等。如果a1=a2那么a1就可以用a2线性表示了（即a1, a2线性相关）

Answer 5

题呢。。。。。。。。。。。