Question

数学函数导数=0才有极值么?

Answer 1

真题而言，对于连续可导函数，在导数等于0处，才有可能有极值，但不一定。

1、导数的全称是导函数，由于我们过于喜欢简称，把导数的值也称为导数，
结果就混淆的视听，使得初学者概念容易错乱。
类似的例子比比皆是：
A、如电阻、电感、电容、电抗、、、、；
B、如匀速圆周运动是匀速率，而匀速直线运动是运速度、、、、；
这些事情的罪魁祸首是教师，是教师懒于澄清，嗜好简称。

2、导函数的几何意义是计算曲线上任意一点的斜率 tangent、slope、
gradient，而水平的切线的斜率是0。

有极大值 maxima，或极小值 minima 的地方的斜率是0，水平
直线的斜率也是0，所以斜率为0是有极值或最值的必要条件 necessity。

3、单单有导数为0，还不足以推论是极大值点，还是极小值点。但是我们
太多的教师，常常误导学生，尤其是到了大二左右的多元函数微积分时，
很多教授依然用必要条件去误导学生讨论极值点、计算多元函数的极值。

对于一元函数，我们还需要计算二阶导数，才有充分性 sufficiency。
两者合在一起才是充要条件 = Necessary and sufficient conditions。

平时我们简称的“当且仅当”就是这个意思，Iff = if and only if。

最后的总结：
1、导数等于0处，才会有极小值、极大值（这是对连续可导函数而言）；
2、导数等于0处，不一定有极大值、极小值（如平行于x轴的水平直线）。

Answer 2

不一定，
数学函数导数f'(x₁)=0,若x₁的左右两旁的导数值异号，才是极值点。
左+，右-，则x₁是极大值点，f(x₁)是极大值；
左-，右+，则x₁是极小值点，f(x₁)是极小值。

Answer 3

导数为零是去极值的必要条件

追问

为什么呢？导数为零有什么意义呢?

追答

结合函数图像，极值处的切线斜率为零，导数的几何意义就是切线斜率。