Question

高二导数题

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• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励10（财富值+成长值）+提问者悬赏10（财富值+成长值）

Answer 1

：x>0时xf'(x)-f(x)=x,
∴f'(x)=1+f(x)/x,
f''(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2=1/x,
∴f'(x)=lnx+b，
f(1)=1,f'(1)=2=b,
f'(x)=lnx+2,
f(x)=xlnx+x+c,
∴1=1+c,
∴c=0,
∴f(x)=xlnx+x.
x>1/e时f’(x)>1,①正确；由f’(x)=0得x1=e^(-1),
0<x<x1时f’(x)<0,f(x)是减函数，其他，f(x)是增函数，
∴f(x)最小值=f(x1)=-1/e^2,②正确;
x→0+时f(x)→lnx/(1/x)→（1/x）/(-1/x^2)=-x→0，③正确；
设g(x)=f(x）-x^2,g'(x）=lnx+2-2x,g''(x)=1/x-2,
0<x<1/2时g''(x)>0,g'(x)是增函数，其他，g'(x)是减函数，
∴g'(x)<=g'(1/2)=1-ln2,g'(1)=0,
0<x<1时g'(x)>0,g(x)是增函数；其他，g(x)是减函数，
∴g(x)<=g(1)=0,④正确。
选D.