Question

计算此积分（勒让德），这道题我只有一步不明白，求解答。

这道题我是在 [复变函数论方法第6版].(俄罗斯)拉夫连季耶夫 中看到的，356页例5。
计算积分（勒让德）

以下是书上的答案

我不明白的地方在倒数第二步，即为什么

我就这一步不明白，请解释这一步为什么成立。我无论怎么算，分母总是1-1.请数学天才救救我吧。
如果各位看不清图片请跟我说，我可以把教材的pdf发给你。
如果你确实可以解决我的困惑，但觉得悬赏不够高，可以跟我说，我可以提高悬赏的，请务必帮我解决这个困惑，谢谢大家了！

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Answer 1

你可能是把计算顺序弄反了，应该先积分，再求极限r-> 0 (或者关于r做泰勒展开)。积分得(-E^(a r) + E^(a - a r)) / (2 a)， 求极限/泰勒展开就是图里写的那样

追问

不懂你在说些什么，不好意思，请问你可不可以把详细过程写在纸上拍成照片发给我，或者用word把你的过程打出来发到这上面，我要的不是数学猜想，而是有过程的解答。谢谢。我确实是先积分，在求极限。我刚才用MATLAB对分母对泰勒展开然后求实部，依然得不到我想要的答案，如果你真的能算出这样的结果，请务必用比较工整的过程告诉我，谢谢你。

追答

不好意思网络问题没看到你最后一张图。我回答的是“倒数第二步”的最后一个等号。

你真正要的步骤：

图里的字写错了，是cos - sin，公式是对的。

追问

1.你给的图片中分子中的那个因子中没有加上isin(2*pi*y),所以你给的图在数学上不成立。

2.你的这句“图里的字写错了，是cos - sin，公式是对的"我读不明白。

3.我用MATLAB执行运算，得不到我想要的结果，请你能不能在说的明白些。

追答

不是没加上isin(2*pi*y)，你图里那个大大的“Re”是取实数部分的意思。。。。。。

分子分母同时乘以 cos(2*pi*y) - isin(2*pi*y)-1 是为了把分母变成实数，然后整个式子的Re，也就是整个式子的实数部分，就是扔掉分子上的isin(2*pi*y)部分

追问

你说对了，我把分给你，其实完整的步骤应该如下图所示：