Question

怎么求函数的极限

Answer 1

第一章书上( p33 , p34 )总给出如何证明一个函数趋于某个数时的极限，这极限已经给出。现在我反其道而行之，给出一个反证。比如说证明lim( 2x - 1 )当x趋于1时的极限不为3.  我们知道上面的答案是1，假如我设它的极限不为1，为3，将会推出一个与定义不符合的结论，也就是说对于任意的ε并不能保证有一个δ使 0 < | x - x0 | < δ，也就是说符合这个不等式的epsilon是有条件的，本题它的条件是ε > 2. 这样就证明了它的极限不是3.  我还没有将这个3推而广之，用一个m代替，然后从极限定义推，推出一个符合定义的极限m。应该说这个m是确定的值，用定义来推可以直接推出m的值，后面给出推理过程。一般来说，对于简单的函数，想求它趋于某数的极限，直接代进去就行了。也许直接代进去是正确的，但是课本并没有给出一个这样的结论，还有许多例题诸如证明lim(x) x趋于x0的极限是x0等等。所以我才有了假如不知道一个初等函数的极限，如何求它的极限？就如上面的简单例子：当x趋于1时，函数2x-1的极限是什么？先上一个图。如何求出一个简单函数的极限上面的结论就是要得出ε > 2，这样与ε是任意的正数不符合，所以假设是错误的，即它的极限不为3.