Question

离散数学 偏序关系

设<A1,≼1>, <A2,≼2>是两个偏序集, 在A1×A2上定义关系≼如下:
∀<x,y>,<u,v>∈A1×A2, <x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
证明<A1×A2,≼>是偏序集.
请写出具体的步骤 以及每一步的依据 谢谢！！！！！！

Answer 1

偏序，只需证明满足自反性、反对称性、传递性即可。

自反性，是显然的（把定义中的u，v分别换成x, y，即可得证）
反对称性，
由下面两个式子同时成立：
<x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
<u,v>≼<x,y>⇔u≼1x∨(u=x∧v≼2y)
可以知道，下面4种情况至少有1个成立
x≼1u 且 u≼1x
x≼1u 且 u=x∧v≼2y
x=u∧y≼2v 且 u≼1x
x=u∧y≼2v 且 u=x∧v≼2y

即
x=u
x=u 且 v≼2y
x=u 且 y≼2v
x=u 且 y=v
4种情况至少有1个成立

从而x=u必然成立
y=v不一定成立（这一点，需确认一下题目是否有误）

传递性，
由
<x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
<u,v>≼<a,b>⇔u≼1a∨(u=a∧v≼2b)
得到，下面4种情况至少有1个成立
x≼1u 且 u≼1a
x≼1u 且 u=a∧v≼2b
x=u∧y≼2v 且 u≼1a
x=u∧y≼2v 且 u=a∧v≼2b

则
x≼1a
x≼1a 且 u=a 且 v≼2b
x≼1a 且 x=u 且 y≼2v
x≼1a 且 x=u=a 且 y≼2v 且 v≼2b

4种情况至少有1个成立
从而x≼1a∨(x=a∧y≼2b)必然成立

根据<x,y>≼<a,b>⇔x≼1a∨(x=a∧y≼2b)，传递性立即得证。