离散数学 偏序关系
设<A1,≼1>,<A2,≼2>是两个偏序集,在A1×A2上定义关系≼如下:∀<x,y>,<u,v>∈A1×A2,<x,y...
设<A1,≼1>, <A2,≼2>是两个偏序集, 在A1×A2上定义关系≼如下:
∀<x,y>,<u,v>∈A1×A2, <x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
证明<A1×A2,≼>是偏序集.
请写出具体的步骤 以及每一步的依据 谢谢!!!!!! 展开
∀<x,y>,<u,v>∈A1×A2, <x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
证明<A1×A2,≼>是偏序集.
请写出具体的步骤 以及每一步的依据 谢谢!!!!!! 展开
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偏序,只需证明满足自反性、反对称性、传递性即可。
自反性,是显然的(把定义中的u,v分别换成x, y,即可得证)
反对称性,
由下面两个式子同时成立:
<x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
<u,v>≼<x,y>⇔u≼1x∨(u=x∧v≼2y)
可以知道,下面4种情况至少有1个成立
x≼1u 且 u≼1x
x≼1u 且 u=x∧v≼2y
x=u∧y≼2v 且 u≼1x
x=u∧y≼2v 且 u=x∧v≼2y
即
x=u
x=u 且 v≼2y
x=u 且 y≼2v
x=u 且 y=v
4种情况至少有1个成立
从而x=u必然成立
y=v不一定成立(这一点,需确认一下题目是否有误)
传递性,
由
<x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
<u,v>≼<a,b>⇔u≼1a∨(u=a∧v≼2b)
得到,下面4种情况至少有1个成立
x≼1u 且 u≼1a
x≼1u 且 u=a∧v≼2b
x=u∧y≼2v 且 u≼1a
x=u∧y≼2v 且 u=a∧v≼2b
则
x≼1a
x≼1a 且 u=a 且 v≼2b
x≼1a 且 x=u 且 y≼2v
x≼1a 且 x=u=a 且 y≼2v 且 v≼2b
4种情况至少有1个成立
从而x≼1a∨(x=a∧y≼2b)必然成立
根据<x,y>≼<a,b>⇔x≼1a∨(x=a∧y≼2b),传递性立即得证。
自反性,是显然的(把定义中的u,v分别换成x, y,即可得证)
反对称性,
由下面两个式子同时成立:
<x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
<u,v>≼<x,y>⇔u≼1x∨(u=x∧v≼2y)
可以知道,下面4种情况至少有1个成立
x≼1u 且 u≼1x
x≼1u 且 u=x∧v≼2y
x=u∧y≼2v 且 u≼1x
x=u∧y≼2v 且 u=x∧v≼2y
即
x=u
x=u 且 v≼2y
x=u 且 y≼2v
x=u 且 y=v
4种情况至少有1个成立
从而x=u必然成立
y=v不一定成立(这一点,需确认一下题目是否有误)
传递性,
由
<x,y>≼<u,v>⇔x≼1u∨(x=u∧y≼2v)
<u,v>≼<a,b>⇔u≼1a∨(u=a∧v≼2b)
得到,下面4种情况至少有1个成立
x≼1u 且 u≼1a
x≼1u 且 u=a∧v≼2b
x=u∧y≼2v 且 u≼1a
x=u∧y≼2v 且 u=a∧v≼2b
则
x≼1a
x≼1a 且 u=a 且 v≼2b
x≼1a 且 x=u 且 y≼2v
x≼1a 且 x=u=a 且 y≼2v 且 v≼2b
4种情况至少有1个成立
从而x≼1a∨(x=a∧y≼2b)必然成立
根据<x,y>≼<a,b>⇔x≼1a∨(x=a∧y≼2b),传递性立即得证。
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