Question

高数，中值定理证明题

Answer 1

令g(x)=f(x)+x-1
g(0)<0，g(1)>0
根据连续函数介值定理，至少存在x0，g(x0)=0
假设g(x)存在两个及以上零点
根据罗尔定理，至少存在x1，g'(x1)=0
因为g'(x)=f'(x)+1，f'(x)≠-1
所以矛盾
所以g(x)只有一个零点

追问

g'(x)不等于0为什么可以说明g(x)只存在一个零点？

追答

用的反证，假设有两个及以上零点时，必须存在x,g’（x）=0。和条件矛盾，所以只有一个零点

追问

g(x)只存在一个零点，那怎么说明f(x)只存在一个零点？

追答

题目问的是f（x）=1-x有唯一实根，是指f(x)+x-1有唯一零点，而不是f(x)有唯一零点呀，构造的g(x)=f(x)+x-1=0只有一个零点就可以证明了。