Question

已知抛物线y=二分之一x方+bx+c与y轴相交于c，与x轴相交于A,B，点A的坐标为（2,0），点C的坐标为（0，-1）

(1)求抛物线解析式；
(2)点E是线段AC上一点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积为四分之一时，求点D坐标；
（3）点P是射线BC上的一个动点，并且△ACP是以AC，AP为腰的等腰三角形，求PC长。

Answer 1

解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C（0，-1）
∴
解得：b=-，c=-1，
∴二次函数的解析式为；
（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）
∴OD=m，
∴AD=2-m，
由△ADE∽△AOC得，
∴，
∴DE=，
∴△CDE的面积=×m =，
当m=1时，△CDE的面积最大，
∴点D的坐标为（1，0）；
（3）存在 由（1）知：二次函数的解析式为
设y=0，则
解得：x1=2，x2=-1，
∴点B的坐标为（-1，0） C（0，-1），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
解得：k=-1，b=-1，
∴直线BC的解析式为：y=-x-1，
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=2，OC=1，
由勾股定理得：AC=，
∵点B（-1，0），点C（0，-1），
∴OB=OC，∠BCO=45°，
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P（k，-k-1）
过点P作PH⊥y轴于H，
∴∠HCP=∠BCO=45°，CH=PH=∣k∣
在Rt△PCH中，k2+k2=
解得k1=，k2=-，
∴P1（，-），P2（-，），
②以A为顶点，即AC=AP=
设P（k，-k-1），
过点P作PG⊥x轴于G，
AG=∣2-k∣，GP=∣-k-1∣，
在Rt△APG中，AG2+PG2=AP2
（2-k）2+（-k-1）2=5
解得：k1=1，k2=0（舍）
∴P3（1，-2），
③以P为顶点，PC=AP，
设P（k，-k-1），
过点P作PQ⊥y轴于点Q，PL⊥x轴于点L，
∴L（k，0），
∴△QPC为等腰直角三角形，PQ=CQ=k，
由勾股定理知，CP=PA=k，
∴AL=∣k-2∣，PL=｜-k-1｜，
在Rt△PLA中，（k）2=（k-2）2+（k+1）2
解得：k=
∴P4（，-），
综上所述： 存在四个点：P1（，-） P2（-，） P3（1， -2） P4（，-）。

追问

缺得数啊，请完善一下，谢谢！！！