Question

已知函数f(x)=x²-2x|x-a|. 若函数f(x)在区间[0,2]上的最小值是-1，求实数a

已知函数f(x)=x²-2x|x-a|.
若函数f(x)在区间[0,2]上的最小值是-1，求实数a的值。

Answer 1

①当a≤0，所以f(x)＝2ax-x^2＝-（x-a）^2+a^2所以最小值为f(2)＝4a-4＝-1，所以a＝3/4与a≤0矛盾，舍去
②当a≥2，所以f(x)＝3x^2-2ax＝3（x-a/3）^2-a^2/3
(1)当a/3≥2，所以a≥6，f(x)最小值为f(2)＝12-4a＝-1，所以a＝13/4与a≥6矛盾，舍去
(2)当a/3≤2且a≥2，所以2≤a≤6，最小值为f(a/3)＝-a^2/3＝-1，所以a＝√3与a≥2矛盾，舍去
③0≤a≤2
(1)当x≤a，所以f(x)＝3（x-a/3）^2-a^2/3，最小值在x＝a/3取得，f(a/3)＝-a^2/3＝-1，所以a＝√3，符合题意
(2)当x≥a，所以f(x)＝(x-a)^2-a^2
Ⅰ:当0≤a≤1，所以最小值为f(0)＝0不可能为-1，舍去
Ⅱ:当1≤a≤2，f(x)最小值f(2)＝4-4a＝-1，所以a＝3/4与a≥1矛盾舍去

综上所述:a＝√3

Answer 2

无法回答