Question

求不定积分的题，，想要过程，谢谢

Answer 1

追问

抱歉，，没采纳你的，我有些不明白的地方，能告诉我吗

Answer 2

Answer 3

Answer 4

Answer 5

令x=tant,dx=sec²tdt
原式=∫(tant+1)/sect*sec²tdt
=∫(tant+1)sectdt
=∫sect*tantdt+∫sectdt
=sect+ln|sect+tant|+C
=√(x²+1)+ln|√(x²+1)+x|+C
sint=xcost,(x²+1)cos²t=1
sec²t=1/cos²t=x²+1
sect=√(x²+1)

追答

上面两个不定积分详细算法如下，

由于(sect)'=sect*tant
所以∫sect*tantdt=sect+C1
∫sectdt
=∫1/cost dt
令u=tan(t/2),t=2arctanu,dt=2/(1+u²)du
cosu=(1-u²)/(1+u²)
原式=∫(1+u²)/(1-u²)*2/(1+u²)du
=2∫1/(1-u²)du
=∫[1/(1-u)+1/(1+u)]du
= -ln|1-u|+ln|1+u|+C2
=ln|(1+u)/(1-u)|+C2
=ln|(1+tan(t/2))/(1-tan(t/2))|+C2
=ln|(cos(t/2)+sin(t/2))/(cos(t/2)-sin(t/2))|+C2
=ln|(1+sint)/cost|+C2
=ln|sect+tant|+C2

由于tant=sint/cost=x
sint=xcost,sin²t+cos²t=1
(x²+1)cos²t=1
sec²t=1/cos²t=x²+1
sect=√(x²+1)

上面两个积分结果相加，可以得到
原式=sect+ln|sect+tant|+C (C=C1+C2)
再将sect,tant关于x的式子代入上面即可

绝对值其实可以去掉