Question

无穷级数(1+ 1/2^n)^n敛散性

Answer 1

证：
令f(x)=ln(1+x)-x+(1/2)x²
f'(x)=1/(1+x) -1 +x
=(x+1)+ 1/(x+1) -2
由均值等式(x+1+ 1/(x+1)≥2(x+1)+1/(x+1)-2≥0
f'(x)≥0函数单调递增
令x=0f(x)=ln(1+0)-0+(1/2)·0²=0
x>0函数单调递增ln(1+x)-x+(1/2)x²>0
ln(1+x)>x-(1/2)x²
令g(x)=ln(1+x)-x
g'(x)=1/(1+x) -1=-x/(1+x)
x>0-x<01+x>0g'(x)<0函数单调递减
令x=0g(x)=ln(1+0)-0=0
x>0函数单调递减ln(1+x)-x<0
ln(1+x)<x
综x-(1/2)x²<ln(1+x)<x等式立

Answer 2

此级数发散，因为其通项（1+1/2^n)^n的极限不为0，不符合级数收敛的必要条件。