己知抛物线y=x^2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于 70
己知抛物线y=x^2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线oA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为？...
己知抛物线y=x^2的焦点为F，过点（0，2）作直线l与抛物线交于A，B两点，点F关于直线oA的对称点为C，则四边形OCAB面积的最小值为？
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解：分享一种解法。按照图形和题设条件，不妨设位于第一象限的交点为A(x1，y1)、第二象限的交点为B(x2,y2)，则x1>0，x2<0。OA的直线方程为y=(x1)x，F点的坐标为(0,1/4)。
设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x^2求解，有x1+x2=k，x1x2=-2，△=k^2+8，x1=(k+√△)/2①；线段AB=√(1+k^2)*√△②。
再设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离。∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1。∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=(1/2)(OA*d1+AB*d2)。
根据点到直线距离公式，d1=(1/4)/√[(1+(x1)^2]③，d2=2/√(1+k^2)④。又线段OA=x1√[(1+(x1)^2]⑤，
∴将①~⑤代入S，有S=[k+17√(k^2+8)]/16。由S对k求导，令导函数1+17k/√(k^2+8)=0，解得k=-1/6时，S最小，其值为3。供参考。
设直线AB方程为y=kx+2，联立y=x^2求解，有x1+x2=k，x1x2=-2，△=k^2+8，x1=(k+√△)/2①；线段AB=√(1+k^2)*√△②。
再设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离。∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1。∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=(1/2)(OA*d1+AB*d2)。
根据点到直线距离公式，d1=(1/4)/√[(1+(x1)^2]③，d2=2/√(1+k^2)④。又线段OA=x1√[(1+(x1)^2]⑤，
∴将①~⑤代入S，有S=[k+17√(k^2+8)]/16。由S对k求导，令导函数1+17k/√(k^2+8)=0，解得k=-1/6时，S最小，其值为3。供参考。
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