Question

求解不定积分，要有详细过程

Answer 1

sinx+cosx=√2sin(x+pi/4)
因此 |sinx+cosx| =
√2sin(x+pi/4) x∈【0,3pi/4】
-√2sin(x+pi/4) x∈【3pi/4, pi】

因此定积分也要拆分成两个部分：
I= ∫√2sin(x+pi/4)dx x∈【0,3pi/4】
- ∫√2sin(x+pi/4) x∈【3pi/4, pi】
=-√2cos(x+pi/4)dx x∈【0,3pi/4】 - √2sin(x+pi/4) x∈【3pi/4, pi】
=(√2 + 1) + （-1 ）
=√2

追问

能不能单独算sin和cos的正负啊

追答

这个不行哎， sinx+cosx这是个整体

追问

那用图画分别的sin和cos的图像能不能得出正负，还有你这个根号二那串怎么来的，为什么要写成那个形式

追答

画图图像只能看出个大概，这里可以通过求解方程来看。符号的临界点 x=3pi/4
公式的形式推导：

a*sinx + b*cosx = √(a²+b²) 【sinx* a/√ + cosx* b/√】
令 cost=a/√ , sint=b/√ 则有：
=√(a²+b²) 【sinx*cost + cosx*sint 】
=√(a²+b²) sin(x+t)
这里有 tant= b/a

Answer 2

∫(sinx+cosx) dx
=-cosx + sinx + C

∫(0->π) | sinx+cosx| dx
=∫(0->π/2) (sinx+cosx) dx + ∫(π/2->π) | sinx+cosx| dx
=∫(0->π/2) (sinx+cosx) dx + ∫(π/2->3π/4) (sinx+cosx) dx
-∫(3π/4->π) (sinx+cosx) dx
=[-cosx + sinx]|(0->π/2) +[-cosx + sinx]|(π/2->3π/4) - [-cosx + sinx]|(3π/4->π)

=(1+1) +( √2 -1 ) - (1- √2 )
=2√2