Question

证明当x>0时(x^2-1)lnx>(x–1)^2

Answer 1

郭敦顒回答：
x＞0，
（x）=（x²－1）ln x，g（x）=（x－1）²
各取导数，
f′（x）=2xlnx+（x²－1）/x=2xlnx+x－1/x，
g′（x）=2x－2，
各取二阶导数，f″（x）=2lnx+2+1+1/√x＞3，
g″（x）=2，
∴f″（x）＞g″（x），
∴f（x）＞g（x），
∴（x²－1）lnx＞（x－1）²。

Answer 2

题目有问题，应该是>=，因为x=1时，两边都是0
然后左-右的导数是 1/x + lnx
只需证明 x>1时导数大于0，0<x<1时，导数小于0即可。这个显然

Answer 3

证明：当x>1时，(x²-1)lnx>(x-1)²

追答

证：
令f(x)=(x²-1)lnx-(x-1)²，x>1
f'(x)
=[(x²-1)lnx-(x-1)²]'
=2xlnx+(x²-1)/x-2(x-1)
=2xlnx+x-1/x-2x+2
=2xlnx+2-x-1/x
=2xlnx+2-x-1/x
f''(x)
=(2xlnx+2-x-1/x)'
=2lnx+2-1+1/x²
=2lnx+1+1/x²
>0
∴f'(x)在(1，+∞)上单调递增
∴f'(x)>f'(1)=0
∴f(x)在(1，+∞)上单调递增
∴f(x)>f(1)=0
∴x>1时，(x²-1)lnx>(x-1)²
证毕。

附上函数图像
y1=(x²-1)lnx
y2=(x-1)²

追问

亲，当x>0的时候，二阶导也可以判断大于零吗

追答

判断不出来

提供给你的答案是基于
“ 证明：
当x>1时，(x²-1)lnx>(x-1)²”

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