Question

二重积分极坐标系里角度θ是怎么确定的？

Answer 1

确定θ的范围的方法：看这个区域所在的象限范围，解两曲线的交点坐标(x，y)后，角度θ=arctan(y/x)，就可得到θ的范围。极坐标θ的变化都是从原点位置开始扫起的。注意角度必须是弧度制。

一般分3种情况：

1、原点（极点）在积分区域的内部，角度范围从0到2π；

2、原点（极点）在积分区域的边界，角度范围从区域的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止；

3、原点（极点）在积分区域之外，角度范围从区域的靠极轴的边界，按逆时针方向扫过去，到另一条止。

注意：

利用极坐标计算二重积分中，除了确定θ的范围外，还要确定r的范围。

r的范围确定方法：可以画一个从原点指向出来的箭头，先穿越的曲线就是下限，后穿越的曲线就是上线。即得到了r的范围。

有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等时采用极坐标会更方便。

Answer 2

整体来说，是有极坐标的径轴（redial axis）扫描的范围所决定的。
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具体来说就是：
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1、原本在直角坐标系中，或者将积分区域划分成一条条的横bar，或竖bar；
对于横bar，先对x积分，从一端积分到另一端，两端或为常数，或为函数；
然后对y积分，从一个点积分到另一个点，也就是具体的数字到数字。
对于竖bar，先对y积分，从一端积分到另一端，两端或为常数，或为函数；
然后对x积分，从一个点积分到另一个点，也就是具体的数字到数字。
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2、改成极坐标后，一般都是先对径轴积分，通常都是从零开始积分，积分到一个
具体的数字，或一个角度的函数；然后再对径轴扫过的范围，确定积分的角度区间。
若先对角度积分，通常会繁琐一些。
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如有疑问，欢迎追问，有问必答。
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追问

扫过范围那个 是逆时针扫还是顺时针扫？符号有正负之分吗

追答

1、是顺时针 clockwise 方向；

2、可以按顺时针方向积分，角度没有正负，
但要注意被积函数在不同的象限，有正负之别；

3、也可以从三、四象限往一、二象限积分，
此时积分的角度有正负之别，同样被积函数也
有正负之别，要万分小心；

4、在微积分中，永远不可以使用角度制，一定
要使用弧度制，极坐标中更是唯有弧度可取。