Question

3sinβ=sin(2α+β），α≠2kπ+π/2 ，α+β≠kπ+π/2 (k∈z）求证tan（α+β）=2tanα

Answer 1

以a，b代替α，β

sin(2a+b)=sin[(a+b)+a]=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina
sinb=sin[(a+b)-a]=sin(a+b)cosa-cos(a+b)sina

所以 3sin(a+b)cosa-3cos(a+b)sina=sin(a+b)cosa+cos(a+b)sina

2sin(a+b)cosa=4cos(a+b)sina

sin(a+b)cosa=2cos(a+b)sina

tan (a+b)=2 tan a 得证。

Answer 2

sin(2α+β）=sin(α+β+α）=sin(α+β）cosα+sinαcos(α+β）
sinβ=sin(α+β-α）=sin(α+β）cosα-sinαcos(α+β）

3sinβ=sin(2α+β）
则
3sin(α+β）cosα-3sinαcos(α+β）=sin(α+β）cosα+sinαcos(α+β）
则2sin(α+β）cosα=4sinαcos(α+β）
α≠2kπ+π/2 ，α+β≠kπ+π/2 (k∈z）
则两边同时除以sin(α+β）cosα
tan（α+β）=2tanα