弹性力学的基本规律

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宣哥无限叼2789
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弹性力学所依据的基本规律有三个:变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律,它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等,都可以从三大基本规律推导出来。
①变形连续规律 弹性力学(和刚体的力学理论不同)考虑到物体的变形,但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体,在变形过程中,物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹,则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。
反映变形连续规律的数学方程有两类:几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系,它的力学含义是,应变完全由连续的位移所引起,在笛卡儿坐标系中,几何方程为:
式中xi为坐标系的坐标;ui为与xi相应的位移分量;为应变分量。
若所考虑的物体Q在其一部分边界B1上和另一物体Q1相连接,而且Q在B1上的位移为已知量,在B1上便有位移边界条件
式中u1是Q的位移。式(2)表示Q和Q1两物体在B1上贴合紧密,没有间隙。反之则表示有间隙,违反了变形后继续保持连续的基本要求。
②应力-应变关系 弹性体中一点的应力状态和应变状态之间存在着一定的联系,这种联系与如何达到这种应力状态和应变状态的过程无关,即应力和应变之间存在一一对应的关系。若应力和应变呈线性关系,这个关系便叫作广义胡克定律,各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式: 和
式中为应力分量;λ和G为拉梅常数,G又称剪切模量;E为杨氏模量(或弹性模量);v为泊松比(见材料的力学性能)。λ、G、E和v四个常数之间存在下列联系:
式(3a)适用于已知应变求应力的问题,式(3b)的适用于已知应力求应变的问题。
③运动(或平衡)规律 处于运动(或平衡)状态的物体,其中任一部分都遵守力学中的运动(或平衡)规律,即牛顿运动三定律,反映这个规律的数学方程有两类:运动(或平衡)微分方程和载荷边界条件。在笛卡儿坐标系中,运动(或平衡)微分方程为:
式中t为时间;ρ为材料密度;fi为作用在物体上的体力(外载荷的体积密度)分量。方程(5)实质上是从物体中隔离出来的一个微小平行六面体的运动方程。在平衡问题中,惯性力很小,忽略这些惯性力,便得到弹性力学中的平衡微分方程。
对于均匀而且各向同性的物体,应力分量可按式(3a)用应变分量表示,而应变分量又可按式(1)用位移分量表示。两个公式依次代入方程(5),便得到用位移表示的运动微分方程:
式中θ为体应变,即
△为拉普拉斯算符,即
类似地,在方程(6)中略去惯性力,便可得到用位移分量表示的平衡微分方程。
如果考虑物体一部分边界B2是自由的,在它的上面有给定的外载荷,则根据作用力和反作用力大小相等方向相反的原理,在B2上有如下载荷边界条件:
式中 i为边界外法线方向的方向余弦;等式右边为给定的边界载荷分量。

希卓
2024-10-17 广告
弹性力学也称弹性理论,是固体力学的一个重要分支,主要研究弹性体(在外力作用下物体变形,当外力不超过某一限度时,除去外力后物体即恢复原状)在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移,从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题... 点击进入详情页
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