Question

关于高等数学极限带入的问题

Answer 1

无穷小代换用于乘除式子，应避免和差式子中的代换。
先看第 2 个式子，分子是常数 10， 分母的极限是11，
则分式的极限是确定的常数 10/11， 故可直接代入求出极限。
再看第 1 个式子， 若直接代入，分子极限是 0， 分母极限是 0，
分式的极限尚看不出是什么常数，故不能直接代入。
因直接代入实质上是将 1-cosx 用 0 代替，
而比它高阶的无穷小是 (1/2)x^2。
所以第 1 式的正确解法是先将分母括号用 2 代换（无穷小代换用于乘除式子），
然后用 2 次罗必塔法则，得 极限为 3/4

追问

而比它高阶的无穷小是 (1/2)x^2。这句话没看懂

追答

泰勒级数展开 1 - cosx = 1 - (1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+......)
当 x 趋于 0 时，最低阶的无穷小代换是 1 - 1 = 0
再高阶的 无穷小代换是 1 - 1 + x^2/2! = x^2/2
再高阶的 无穷小代换是 1 - 1 + x^2/2! -x^4/4! = x^2/2! - x^4/4!
...........................................

Answer 2

能不能代入是根据四则运算的，要代入就得全部代入，而不只能一部分。
第二题把cosx变成1就已经是全部代入了，而第一题，你单单把cosx变成1，其它不变的话就不行