Question

线性代数，详细过程，最好手写

Answer 1

（1）

A（α₁，α₂，α₃）

=（Aα₁，Aα₂，Aα₃）

=（α₁+α₂+α₃，2α₂+α₃，2α₂+3α₃）

=（α₁，α₂，α₃）×

1 0 0

1 2 2

1 1 3

因此矩阵B=

1 0 0

1 2 2

1 1 3

（2）

由（1）知道

A（α₁，α₂，α₃）=（α₁，α₂，α₃）B

则A = （α₁，α₂，α₃）B（α₁，α₂，α₃）⁻¹

因此A与B相似，有相同特征值

而

|λI-B| = 

λ-1    0    0    

-1    λ-2    -2    

-1    -1    λ-3    

 =  

λ-1    0    0    

0    λ-1    1-λ    

-1    -1    λ-3    

 = (λ-1)[(λ-1)(λ-3)+(1-λ)] = (λ-1)(λ-1)(λ-3-1) = (λ-1)(λ-1)(λ-4)

= 0
解得λ=1(两重)，4

因此A的特征值是1(两重)，4

（3）

先对矩阵B对角化，根据特征值，求相应特征向量

对这3个特征向量，进行施密特正交化，

先正交化，得到

(-1,1,0)T 
(-2,0,1)T - (-1,1,0)T = (-1,-1,1)T

(0,1,1)T - (-1,1,0)T/2 = (1,1,2)T/2

再单位化，得到

(-1,1,0)T /√2

(-1,-1,1)T /√3

(1,1,2)T /√6

因此得到矩阵Q=

-1/√2 -1/√3 1/√6

1/√2 -1/√3 1/√6

0 1 /√3 2/√6

使得

Q⁻¹BQ = diag(1,1,4)

再根据（1），得知

（α₁，α₂，α₃）⁻¹ A （α₁，α₂，α₃）= B 

则

Q⁻¹（α₁，α₂，α₃）⁻¹ A （α₁，α₂，α₃）Q= Q⁻¹BQ = diag(1,1,4)

因此取P=（α₁，α₂，α₃）Q，可以使得P⁻¹AP=diag(1,1,4) 成为对角阵。